مقاله مدل های فازی – چه هستند وچرا word دارای 37 صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است

فایل ورد مقاله مدل های فازی – چه هستند وچرا word   کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد.

این پروژه توسط مرکز مرکز پروژه های دانشجویی آماده و تنظیم شده است

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ریختگی احتمالی در متون زیر ،دلیل ان کپی کردن این مطالب از داخل فایل ورد می باشد و در فایل اصلی مقاله مدل های فازی – چه هستند وچرا word ،به هیچ وجه بهم ریختگی وجود ندارد

بخشی از متن مقاله مدل های فازی – چه هستند وچرا word :

مدل های فازی – چه هستند وچرا

مجموعه های فازی درواقع تعمیمی برتئوری مجموعه های قراردادی می باشد که درسال 1965 به عنوان روشی ریاضی برای روشن کردن ابهامات درزندگی روزمره توسط زاده معرفی شد. [1].

ایده اصلی مجموعه های فازی ساده است وبه راحتی می توان آن را دریافت. فرض کنید هنگامی که به چراغ قرمز می رسید باید توصیه ای به یک دانش آموز راننده درباره زمان ترمز کردن بکنید. شما می گویید « در74 فوتی چهارراه ترمزکن » یا توصیه ی شما شبیه به این است « خیلی زود از ترمزها استفاده کن »؟

البته دومی ؛ دستورالعمل اول برای انجام دادن بسیار دقیق است. این نشان می دهد که دقت می تواند بی فایده باشد ، تا زمانی که راه های مبهم وغیر دقیق می توانند تفسیر وانجام گیرند. زبان روزمره مثال دیگری است از استفاده وانتشار ابهامات. بچه ها بسرعت تفسیر وانجام دستورالعمل های فازی را یاد می گیرند. (ساعت 10 به رختخواب برو). همه ما اطلاعات فازی نتایج مبهم واطلاعات غیر دقیق را به خاطر می سپاریم وازآن ها استفاده می کنیم وبه خاطر همین مسئله قادر هستیم تا در موقعیت‌هایی که به یک عنصر تصادفی وابسته است تصمیم گیری کنیم. بنابراین مدل های محاسباتی از سیستم‌های حقیقی باید قادر باشند که عدم قطعیت های آماری وفازی را تشخیص دهند ، مشخص کنند ، تحت کنترل خود درآورند ، تفسیر کنند وازآن استفاده کنند.

تفسیر فازی ازاطلاعات یک راه بسیار طبیعی ، مستقیم و خوش‌ظاهر برای فرموله کردن وحل مسائل مختلف است. مجموعه های قراردادی شامل اشیایی است که برای عضویت در ویژگی‌های دقیقی صدق می کنند. مجموعه H که اعداد از6 تا 8 می باشد یک CRISP است ؛ ما می نویسیم . به طور مشابه H توسط تابع عضویت (MF) که مطابق زیرتعریف می شود نیز توصیف می گردد.

مجموعه H ونمودار درسمت چپ شکل 1 نشان داده شده اند هرعدد حقیقی r یا درH است یا نیست از آنجا که کلیه اعداد حقیقی را به دو نقطه (1،0) می‌برد ، مجموعه Crisp معادل منطق دو مقداره است : هست یا نیست ، روشن یا خاموش ، سیاه یا سفید ، 1 یا 0 . درمنطق مقادیر مقادیر حقیقت نامیده می شوند، با ارجاع به این پرسش « آیا r درH است؟ » جواب مثبت است اگروتنها اگر ؛ درغیراین صورت نه.

مجموعه دیگرF ازاعداد حقیقی که نزدیک به 7 هستند را درنظر بگیرید ازآنجا که ویژگی «نزدیک به 7» نامعلوم است ، تابع عضویت یکتایی برای F وجود ندارد . به هرحال مدل کننده براساس پتانسیل کاربرد و ویژگی ها F باید تصمیم بگیرد که چه باشد . ویژگی هایی که برای F به نظرخوب می رسد شامل این موارد است (I) حالت عادی یا طبیعی (ii) یکنواختی (برای r نزدیکتر به7 ،‌ به 1 نزدیکتراست وبرعکس) و (iii) تقارن (اعدادی که فاصله مساوی از چپ وراست 7 دارند باید عضویت یکسانی داشته باشند).

با توجه به این موارد ضروری هرکدام از توابع نشان داده شده درطرف راست شکل 1 می‌تواند نمایش مناسبی برای F باشد. گسسته است درحالی پیوسته است ولی هموارنیست (نمودار مثلثی) یک نفر می تواند به راحتی یک MF برای F بسازد به نحوی که هرعدد عضویت مثبتی در F داشته باشد ولی انتظار نداریم برای اعداد « خیلی دوراز7» برای مثال 2000097 زیاد داشته باشیم! یکی از بزرگترین تفاوت ها بین مجموعه های Crisp ومجموعه‌های فازی این است که اولی همیشه MF یکتایی دارد درحالی که هرمجموعه فازی بی‌نهایت MF دارد که می توانند آن را نشان دهند. این درواقع هم ضعف است وهم قدرت ؛ یکتایی قربانی می شود ، ولی سود پیوسته ای که به خاطر انعطاف پذیری همراه خواهد داشت.

مدل فازی را قادر می سازد که با بیشترین سود دریک موقعیت داده شده تطبیق داده شود. درتئوری مجموعه های قراردادی ، مجموعه های اشیایی واقعی برای مثال اعداد در H معادلند و به صورت ایزومورفیک با یک تابع عضویت یکتا مانند توصیف می شوند. ولی معادل مجموعه ای ، از اشیای واقعی وجود ندارد. مجموعه های فازی همواره ( وفقط) توابعی هستند از «مجموعه جهانی » به نام X به [ ] . این مسئله درشکل 2 نشان داده شده است که درواقع مشخص می سازد مجموعه فازی تابع است از X به [ ] . همانطور که تعریف شده هرتابع [ ‌] یک مجموعه فازی است.

تازمانی که این در ریاضیات رسمی درست است ، بسیاری از توابع که دراین زمینه توصیف می‌شوند نمی توانند به طور مناسبی برای تصوریک مجموعه فازی تفسیر شوند . به عبارت دیگر، توابعی که X را به بازه واحد می برند ممکن است مجموعه های فازی باشند ولی تنها زمانی مجموعه فازی می شوند که یک سری ویژگی های غیر دقیق ولی ذاتی ، منطقی وتوصیفی را با اعضای X تطبیق دهند.
اولین سؤال و در واقع سؤالی که معمولا درمورد این طرح پرسیده می شود ، مربوط است به رابطه فازی واحتمال . آیا مجموعه های فازی یک مبدل هوشمند برای مدل های آماری است ؟ درواقع نه . شاید یک مثال کمک کند.

مثال 1: مجموعه همه آب ها رابه عنوان مجموعه جهانی درنظر بگیرید وهمچنین مجموعه فازی { مایعات قابل آشامیدن }‌=‌L را داریم . فرض کنید شما یک هفته بدون مایعات درصحرا بوده اید وحالا دو بطری A وB دارید. به شما گفته می شود که عضویت (فازی) مایع درون A در L ، 9/0 وهمچنین احتمال اینکه مایع درون B متعلق به L باشد هم 9/0 است. به عبارت دیگر A شامل مایعی است که با درجه عضویت 9/0 قابل شرب است درحالی که B شامل مایعی است که به احتمال 9/0 قابل شرب است . با این جفت بطری مواجه می شوید وباید ازیکی که انتخاب کرده اید بنوشید ، اول کدام را برای نوشیدن انتخاب می کنید ؟ چرا؟ بعلاوه

بعداز مشاهده درباره محتوای دو بطری مقدار (محتمل) برای عضویت واحتمال چه می‌باشد؟ [ پاسخ این معما درکلاس بحث می شود ] سؤتفاهم رایج دیگردرباره مدل های فازی این است که آن ها به عنوان جایگزین هایی برای مدل های Crisp (یا احتمالاتی) پیشنهاد می شدند. برای توضیح این مسئله نخست از شکل های 1و2 توجه کنید که هرمجموعه Crisp فازی است ولی نه برعکس . بسیاری از طرح ها که ازایده فازی استفاده می کنند آن را از طریق محاط کردن وجا دادن بکار می برند یعنی ما تلاش می کنیم تا ساختارقراردادی را حفظ کنیم وبه آن اجازه می دهیم تا درخروجی هرزمان که می‌تواند و هرزمان که باید برجسته شود.

مثال 2 : وضع ریاضی‌دان اولیه را درنظر بگیرید ، او می دانند که سری تیلور برای تابع حقیقی (زنگی شکل) در واگرا است ولی نمی تواند بفهمد چرا ، مخصوصا که f دراین نقاط بی نهایت بار مشتقپذیر است. امروزه به عنوان دانش معمول هر دانش آموز ازتوابع مختلط تابع دو قطب در دارد. بنابراین تابع مختلط که محاط شده به وسیله صورت کسر است ، نمی تواند بسط سری توانی همگرا درنقطه ای روی مرز دایره به شعاع واحد درصفحه داشته باشد ؛ درحالت خاص در ، یعنی درنقاط حقیقی . این مثال یک اصل کلی در ریاضیات مدلی را نشان می دهد . یک مسئله حقیقی (ظاهراً لاینحل) را درنظر بگیرید ؛ فضا را گسترش بدهید وجواب را دراین فوق مجموعه خیالی جستجو کنید درنهایت جواب بدست آمده را به قیدهای حقیقی اولیه محدود کنید.

درمثال 2 ما درمورد پیچیده سازی تابع f بوسیله محاط کردن یا درنظر گرفتن اعداد حقیقی درصفحه مختلط صحبت کردیم ، درادامه با عمل آسان سازی ازنتیجه کلی برای حل مسئله اصلی استفاده می کنیم . بسیاری از مدل‌های فازی از طرح مشابهی پیروی می‌کنند مسئله های واقعی که شامل عدم قطعیت های آماری نمی باشند ابتدا « فازی» می شوند سپس یک نوع آنالیز وتحلیل برروی مسئله بزرگترصورت می گیرد و درنهایت نتیجه برای حل مسئله اصلی خاص و

ویژه می شود. درمثال 2 بازگشت به خط حقیقی عمل آسان سازی نامیده می شود ؛ درمدل های فازی این بخش ازفرآیند به عنوان دقیق سازی شناخته می شود. این عمل معمولا ضروری است ، البته هرچند که ما به یک دانش آموز آموزش می دهیم تا « از ترمز خیلی زود استفاده کند» ولی درحقیقت پدال ترمز دریک لحظه باید درست وآماده عمل کند. به عبارت دیگرما نمی توانیم یک موتور را نصحت کنیم که « تند حرکت نکن » هرچند که این دستورالعمل از کنترل کننده فازی می آید ولی ما باید ولتاژومقدار آن را به مقدار مخصوص ومعینی تغییردهیم مثال 2 نشان می دهد که این به سختی یک ایده یا داستان است ؛ درعوض باید به آن به عنوان روشی سودمند توجه کنیم.

مثال 3:به عنوان آخرین وشاید واقعیترین مثال درمورد کاربرد مدل های فازی ، سیستمی که درشکل 3 نشان داده شده را درنظر بگیرید که یک آونگ وارونه ساده را نشان می دهد . این آونگ برای چرخش درصفحه شکل وحول محور متصل به ماشین آزاداست. مسئله کنترل این است که با وارد کردن یک نیروی باز گرداننده F(t) درلحظه t ، درپاسخ به تغییرات خطی وزاویه ای موقعیت یا سرعت ، پاندول را درهمه زمان ها عمود نگه داریم . این مسئله می‌تواند به روش های مختلفی

فرموله شود. دریکی از ساده ترین صورت ها از تئوری کنترل استفاده می شود . خطی سازی معادلات حرکت به یک مدل از سیستم منتهی می شود که ویژگی های ثبات واستحکام توسط امتحان بخش حقیقی مقادیر ویژه ازماتریس ثابت های سیستم مشخص می گردد. مسیر پایین در شکل 3 این حالت را نشان می دهد . همانطور که در وسط مسیر پایین شکل 3 نشان داده شده اگر آنگاه پاندول ثابت وساکن خواهد ماند. این رویه درمهندسی کنترل بسیار پیش پا افتاده

است تا آنجا که بسیار از طراحان اصلا درمورد استفاده ازاعداد موهومی درحل مسایل حقیقی فکرنمی کنند ، ولی واضح است که این روند دقیقا مانند مثال 2 است – یک مسئله حقیقی با گذر موقت به یک مجموعه بزرگتر وخیالی ، تحلیل موقعیت درابرمجموعه ودرنهایت با خاص کردن نتیجه برای بدست آوردن جواب دلخواه حل می شود.
مسیر بالا درشکل 3 راه حل دیگری را برای

این مسئله کنترل نشان می دهد که برپایه مجموعه های فازی است. این روش هم ، برای موازنه وتثبیت پاندول مشهور ومطرح است وراه حلی را ارائه می کند که دربعضی موارد بسیار بهتراست ، برای مثال کنترل کننده فازی نسبت به تغییرات درطول وجرم پاندول حساسیت بسیار کمتری دارد [2]. دوباره به اصل محاط کردن توجه کنید : فازی کردن ، حل ، عمل عکس فازی کردن ، کنترل مدل های فازی با موارد مشابه به تفاوت ندارند. بعضی مواقع بهترعمل می کنند وبعضی مواقع هم نه.

این جداً تنها معیار نیست که بایستی برای قضاوت هر مدل بکار برد، و این روزها مدارک بیشتری وجود دارد که شیوه های فازی برای مسایل واقعی اغلب جایگزین خوبی برای طرحهای آشناتر و محبوب‌تری می‌باشند. این نقطه ای است که بحث ما اکنون به آن بر می‌گردد. اکنون اجازه دهید اندکی در باره تاریخ مجموعه های فازی بحث نماییم. موفقیت عظیم کاربردهای تجاری که حداقل تا حدی مبتنی بر تکنولوژی های فازی توسط شرکتهای ژاپنی می باشد کنجکاوی بسیاری را درباره سودمندی و استفاده از منطق فازی برای کاربردهای علمی و مهندسی بر انگیخته است. در طی پنج یا ده سال گذشته مدلهای فازی جانشین تکنولوژی های قراردادی تر در کاربردهای علمی و سیستم های مهندسی خصوصاً در سیستم های کنترل و شناخت الگو گردیده‌اند. اخیراً مقاله ای در Newsweek خاطر نشان کرد که ژاپنی ها هزاران الگو در لوازم فازی که تنوع بسیاری دارند منجمله ماشین لباسشویی، تهویه هوا، دوربین تلویزیونی، جاروبرقی ، کنترل ترن زیر زمینی و کشتی و اتومبیل بکار برده‌اند.

اساساً این تکنولوژی است که باعث علاقه در این حوزه شده است. از 1965، مؤلفان بسیاری موارد فازی را در بخشهای مربوط به ریاضیات، علوم و مهندسی تعمیم دادند. به هر حال علاقه به مدلهای فازی تا زمانی که کاربردهای میدانی آن آشکار نشد بسیار عمومیت نداشت. دلایل این تأخیر در محبوبیت بسیار می باشد. اما شاید دقیق ترین توضیح در حقایق برحسته که در توسعه هر تکنولوژی مسئله ای اساسی می باشد نهفته باشد که به طور موجز در شکل 4 نشان داده شده است.

محور افقی شکل 4 زمان است و محور عمودی انتظار است و انتظار چه کسی؟ خوب، معمولاً انتظار آدمهایی که تاوان توسعه تکنولوژی را می پردازند، اما توصیه می کنم در اینجا این محور را به مفهوم وسیع تری بگیرید، برای سودمندی، البته از چشم مصرف کننده. بخش اساسی و بسیار پر اهمیت شکل 4 خط مجانب است که به تحویل تکنولوژی به ارزش مورد انتظار بسیار پایین تری از آنچه که مصرف کنندگان اولیه در نظر داشتند منجر می شود. سالهای مربوط به محور زمان مربوط به مدلهای فازی هستند و البته با بهترین تخمین (به استثنای مورد اولی) وقتی به این شکل نگاه می کنید ممکن است مایل به حذف این مدلها و

جایگزینی تکنولوژی جدید مطلوب خود برای موردی که نشان داده شده باشید. هر تکنولوژی سیر تکامل خود را دارد و همه آنها الگویی را که در شکل 4 نشان داده شده پیروی نمی کنند.(اما ممکن است شگفت زده شوید که ببینید چند تای آنها از این الگو پیروی می کنند. برای مثال، سعی کنید که با در نظر گرفتن

تاریخ، افراد و حوادث مربوط به آنان را مشخص کنید برای نمونه شبکه عصبی محاسباتی، هوش مصنوعی، فرکتال ها، اعداد مختلط و غیره هر تکنولوژی جدید با خوش بینی و ساده نگری شروع می گردد . مخترع یا مخترعین در ایده های خودشان غرق می شوند، همکاران نزدیک آنها هستند که، هیجان بسیار زیادی ر تجربه می کنند. اکثر تکنولوژی ها بیش از حد خوش بینانه هستند و اغلب بیش از ایجاد درآمد برای ادامه کار را نوید می دهند زیرا منبع مالی و کسب در آمد بخش جدایی ناپذیر رشد علمی است که بدون آن انقلابی ترین ایده ها و تخیل بسیار بالا از مرحله جنینی عبور نمی کنند. Hype ساخت دست طبیعی است که بیش از حد خوش بینانه است و اکثر تکنولوژی ها به سرعت ساخته می‌شوند که به نوک Hype برسند. در پی آن، همیشه تقریباً عکس العمل آن ایده ها وجود دارد که کاملاً رشد نیافته اند، و این ناچاراً به شکست می انجامد و در امتداد آن بد بینی را به دنبال دارد. بسیاری از تکنولوژی های جدید تا این نقطه تکامل می یابند و سپس ناپدید می شوند.

مواردی نیز تداوم می یابند. زیرا فردی، سودمندی در آن برای (=سوء استفاده کننده واقعی) ایده های اساسی می یابد.

استفاده یا سودمندی خوب به چه معناست؟ برای مثال، امروزه سودمندی های فراوانی در اعداد حقیقی برای اعداد مختلط وجود دارد، همانطور که در مثال های 2 و 3دیدیم. اما ریاضی دانان بسیاری تا زمانی که ریاضی دانانی چون وسل ،آرگاند ، همیلون و گاوس اعداد موهومی را از نقطه نظر هندسی به وجود آوردند، این چنین فکر نمی کردند و البته در بافت مدلهای فازی استفاده خوب مترادف با ترکیب محصولاتی است که در بالا بدان اشاره شد. علاقه به سیستم های فازی در حوزه دانشگاهی، صنعت و دولت همچنین با رشد سریع کنفرانس های ملی و بین المللی روشن می گردد. همچنانکه در بالا بدان اشاره شد کاربردهای موفقیت آمیز مدلهای فازی به لحاظ کاربردهای تجاری در ژاپن بسیار شهرت یافته اند.
MITI در ژاپن LIFE ، را در 1988 با بودجه سالانه حدود 24000000 دلار (دلار آمریکایی) برای هفت سال شروع کرد. ]000[

«نظریه مجموعه‌های فازی»
ویرایش شده از
J-S.R.Hang ، C,T,sun و E,Mizutani، Neuro-Fuzzy and soft computing ، فصل 2 Prentice Hall ، 1997
X را فضایی از اشیاء و x را یک عنصر نوعی از x در نظر می گیریم. یک مجموعه ی کلاسیک A، ، بصورت مجموعه ای از عناصر یا اشیاء ، که هر عنصر (x)می تواند یا عضو مجموعه باشد یا نباشد، تعریف شده است. با تعریف یک «تابع مشخصه(یا عضویت)» برای هر عنصر ، می توانیم یک مجموعه کلاسیک A را به وسیله ی یک مجموعه از زوجهای مرتب یا که به ترتیب اشاره بر یا دارند نمایش دهیم . بر خلاف مجموعه ی قراردادی فوق الذکر، یک مجموعه فازی درجه ای را که از آن یک عنصر متعلق به مجموعه است، بیان می کند. بنابراین تابع عضویت یک مجموعه فازی اجازه دارد مقادیر بین 0 و 1 را داشته باشد که درجه‌ی عضویت هر عنصر در داخل مجموعه را مشخص می‌کند.

تعریف 1:(مجموعه فازی و توابع عضویت): اگر X ومجموعه ای از اشیاء باشد که بطور کلی با x مشخص می شوند ، در این صورت یک مجموعه ی فازی A داخل X بصورت مجموعه ای از زوجهای مرتب به شکل تعریف می‌شود بطوریکه تابع عضویت (یا برای اختصار MF) برای مجموعه ی فازی A نامیده می‌شود. MF هر عنصر از X را تا یک «درجه ی عضویت» (یا «مقدار عضویت») بین 0 و 1 (شامل شده) ]به شکل نمودار[ ترسیم می‌کند.
به شکل آشکار ، تعریف مجموعه فازی یک تعمیم ساده از تعریف یک مجموعه ی کلاسیک است که در آن تابع مشخصه اجازه دارد هر مقداری بین 0 و 1 را اختیار کند. اگر مقدار تابع مشحصه به 0 و 1 محدود شود، A به یک مجموعه کلاسیک کاهش می‌یابد.

برای وضوح، به مجموعه های کلاسیک به عنوان مجموعه های متداول، مجموعه های crisp، مجموعه های غیر فازی یا فقط مجموعه ها نیز مراجعه خواهیم کرد. اغلب به X به عنوان «مجموعه جهانی » یا بطور ساده«جهان» رجوع می شود و ممکن است شامل اشیاء گسسته (مرتب یا نامرتب) بوده یا اینکه یک فضای پیوسته باشد. با مثالهای زیر این مسئله روشن خواهد شد.

مثال 1(مجوعه های فازی، جهان گسسته ی نامرتب): X را مجموعه ی شهرهایی که یک نفر ممکن است برای زندگی انتخاب کند قرار دهید بصورت {لس آنجلس ، بوستون ، سان‌فرانسیسکو }=X مجموعه ی فازی «شهر مطلوب برای زندگی»=A ممکن است به شکل مقابل شرح داده شود: {(8/0 بوستون)، (96/0، لس آنجلس)، (9/0، سان فرانسیسکو)}=A به وضوح جهان مباحثه X گسسته است و اشیاء نامرتب را شامل می شود، در اینجا سه شهر بزرگ در ایالت متحده ، همان طور که می توان ملاحظه کرد. درجه های عضویت مذکور که در بالا لیست شد کاملاً فردی و شخصی است و هرکس می تواند با سه مقدار متفاوت اما درست برای نشان دادن برتری خود حاضر شود.

مثال 2(مجموعه های فازی با جهان گسسته ی مرتب): X را مجموعه ی تعداد فرزندانی که یک خانواده ممکن است برای داشتن انتخاب کند بصورت مقابل قرار دهید، . اکنون مجموعه فازی «تعداد فرزندان مطلوب در خانواده»=B ممکن است به شکل مقابل شرح داده شود:

در اینجا ما یک جهان گسسته ی مرتب X داریم. MF برای مج

موعه فازی B در شکل (a)5 نشان داده شده است. مجدداً درجه های عضویت این مجموعه فازی آشکارا ، مقادیری فردی و شخصی هستند.
مثال 3(مجموعه های فازی با جهان پیوسته): Xرا مجموعه ی سن های ممکن برای انسان بصورت قرار دهید. در این صورت مجموعه ی فازی «سن حدود 50 سال»=C ممکن است بصورت بیان شود بطوریکه . این در شکل (b)5 نشان داده شده است. از مثالهای در پیش آمده واضح است که ساختمان یک مجموعه فازی وابسته به دو چیز است، شناسایی یک جهان مباحثه مناسب و تعیین یک تابع عضویت شایسته. تعیین توابع عضویت فردی(وابسته به طرز تفکر شخصی) است، که یعنی توابع عضویت تعیین شده برای یک مفهوم توسط افراد متفاوت ممکن است بطور قابل توجهی تفاوت داشته باشد. این فردیت از تفاوتهای

شخصی افراد در بیان کردن مفاهیم مطلق(مجرد) ناشی می شود و ارتباط چندانی به تصادف و تصادفی بودن ندارد . بنابراین «فردیت» و «تصادفی نبودن» مجموعه های فازی تفاوت عمده بین مطالعه ی مجموعه های فازی و نظریه‌ی احتمال که با رفتار علمی و بدون نظر خصوصی با پدیده های تصادفی سروکار دارد، است. مجموعه های فازی تفاوت عمده بین مطالعه ی مجموعه های فازی و نظریه احتمال که با رفتار علمی و بدون نظر خصوصی با پدیده های تصادفی سروکار دارد، است.
در عمل، وقتی که جهان مباحثه X یک فضای پیوسته است، ما معمولاً آنرا به چندین مجموعه فازی که MF های آنها X را در حالتی کم و بیش یکنواخت بپوشاند، تقسیم می کنیم. این مجموعه های فازی که معمولاً دارای اسمهایی هستند که با صفتهایی که در کاربرد روزمره ی زبانی ما ظاهر می‌شوند مطابقت دارند (مانند«بزرگ»، «متوسط» یا «کوچک»)، «مقادیر زبانی» یا «برچسب های زبانی » نامیده می شوند. بنابراین جهان مباحثه X معمولاً «متغیر زبانی» نامیده می شود. مثالی درباره‌ی این در زیر می آید.

مثال 4(متغیرهای زبانی و مقادیر زبانی): فرض کنید «سن»=X، در این صورت می توانیم مجموعه های فازی «جوان»، «میانسال» و «پیر» را در این مورد تعریف کنیم. اگر «سن» مقدار «جوان» را بخود بگیرد، در این صورت بیان «سن ، جوان است» را خواهیم داشت و به همین شکل برای بقیه ی مقادیر مثالی از MF ها برای این مقادیر زبانی در شکل 6 آمده است بطوریکه جهان مباحثه X بطور کامل توسط MF ه

ا پوشیده شده است و انتقال از یک MF به دیگری نرم و تدریجی است. اکنون بیایید بعضی از واژه ها و اصطلاحات بکار رفته در این نوشته را تعریف کنیم.
تعریف 2 (تکیه گاه) : تکیه گاه یک مجموعه‌ی فازی A ، مجوعه‌ی تمام نقاط x داخل X است بطوریکه .
تعریف 3 (مغز یا هسته) : مغز یا هسته یک مجموعه فازی A مجموعه تمام نقاط x داخل X است بطوریکه .
تعریف 4 (حالت عادی) : یک مجموعه‌ی فازی عادی است اگر مغزش ناتهی باشد . به بیان دیگر، همیشه بتوانیم حدال یک نقطه پیدا کنیم بطوریکه .
تعریف 5(نقاط متقاطع ): یک نقطه ی متقاطع از یک مجموعه ی فازی نقطه ی است بطوریکه .
تعریف 6(یگانه فازی) :یک مجموعه فازی که با تکیه‌گاه آن یک تک نقطه در X با باشد یگانه ی فازی

نامیده می شود.
تعریف 7 (برش ، برش قوی) : مجموعه ی برش یا تراز از یک مجموعه فازی A یک مجموعه ی crisp است، که به صورت تعریف شده است. مجموعه ی برش قوی یا تراز قوی نیز به شکل مشابه تعریف شده است:

تعریف 8(تحدب):یک مجموعه فازی A محدب است اگر و فقط اگر برای هر و هر ، . به شکل جایگزین، A محدب ا
تعریف 9(اعداد فازی) :یک عدد فازی A یک مجموعه ی فازی در اعداد حقیقی است که شرایط حالت عادی و تحدب را می پذیرد. بیشتر مجموعه های فازی بکار رفته در نوشته جات شرایط حالت عادی و تحدب را می پذیرند ، بنابراین اعداد فازی اساسی ترین نوع مجموعه‌های فازی را از کار خود کنار می گذارند. اجتماع، اشتراک و مکمل اصلی‌ترین اعمال روی مجموعه های کلاسیک هستند. برپایه‌ی این سه عمل تعدادی هویت می تواند بنا نهاده شود. مشابه اعمال اجتماع، اشتراک و مکمل برای مجموعه های معمولی، مجموعه های فازی اعمال مشابهی دارند که ابتدا در مقاله ی اصلی «زاده»]1[ تعریف شدند. قبل از معرفی این سه عمل مجموعه های فازی، نخست ما نظریه «شامل بودن» که نقش مرکزی در مجموعه های معمولی و فازی ایفا می کند تعریف خواهیم کرد. البته تعریف شامل بودن یک تعمیم طبیعی از این تعریف برای مجموعه های معمولی است.

تعریف 10 (محدود کردن یا زیر مجموعه) : مجموعه ی فازی A در مجموعه ی فازی B است (یا بطور هم ارز، A یک زیر مجموعه‌ی B است یا A کوچکتر مساوی B است، ) اگر و فقط اگر برای هر x، .
تعریف 11(اجتماع(انفصال)) : اجتماع دو مجموعه ی فازی A و B، مجموعه فازی C است که به شکل یا نوشته می شود، که MF آن به صورت مقابل با MF های A و B مرتبط است:

تعریف 12(اشتراک(اتصال)) : اشتراک در مجموعه فازی A و B، مجموعه ی فازی C است که به شکل یا نوشته می شود، که MF آن به صورت مقابل با MF‌های A و B مرتبط است:

تعریف 13(مکمل(نفی)) :مکمل مجموعه فازی A، که با یا not A مشخص می شود، به صورت تعریف می شود.
دقت کنید که اعمال معرفی شده در این سه تعریف (11 تا 13) دقیقاً مانند اعمال مشابه برای مجموعه های معمولی عمل می کنند ، اگر مقادیر توابع عضویت به 0 و 1 محدود شوند. به هر حال، قابل فهم است که این توابع تنها شکل ممکن تعمیم اعمال مجموعه ی crisp نیستند. برای هر کدام از سه عمل مذکور مجموعه ها، چندین گروه متفاوت از توابع یا خواص مطلوب متعاقباً در درون متن پیشنهاد شده است(مثلاً مجموع جبری برای اجتماع و حاصلضرب برای اشتراک) در حالت

کلی اجتماع و اشتراک مجموعه های فازی می توانند به ترتیب به وسیله عملگرهای ‏T-conorm(S-norm) و T-norm تعریف شوند. این دو عملگر توابع به شکل هستند که بعضی خواص شرکت پذیری، جابجایی پذیری، یکنواختی و مرز مناسب را می پذیرند همان طور که توسط زاده ]1[ اشاره شده است یک تعریف ذاتی اما هم ارز برای اجتماع، «کوچکترین» مجموعه ی فازی است که هم شامل A و هم شامل B باشد. به طور جایگزین، اگر D هر مجموعه ی فازی شامل هم A و هم B باشد، در این صورت آن شامل است. به طور مشابه، اشتراک A و B «بزرگترین» مجموعه فازی است که هم در A و هم در B مشمول باشد.
(ادامه متن ویرایش شده است از

J.M.Mendel “Fuzzy logic sysytem for Engineering:A Tutorial” proc. of IEEE (3)83، 1995)
دو قانون بنیادی(ارسطویی) نظریه مجموعه crisp عبارتند از:1)قانون تناقض : (یعنی یک مجموعه و مکمل آن باید جهان مباحثه را شامل شوند.)
2)قانون میانه ی منع شده : (یعنی یک شی می تواند در یک مجموعه یا مکمل آن باشد. نمی تواند هم زمان در هر دو قرار بگیرد.) به راحتی دیده می شود که برای هر مجموعه‌ی فازی که non-crisp است(یعنی که تابع عضویت آن، تنها مقادیر 0 و 1 را اختیار نمی‌کند(به مقادیر 1و0 محدود نیست)) هر دو قانون شکسته می شود(یعنی برای مجموعه‌های فازی و در حقیقت بطوریکه داریم و به عنوان مثال، می توانیم از شکل 6 ببینیم که چطور یک شخص 30 ساله جوان است، با

تابع عضویت 5/0 و جوان نیست با تابع عضویت 5/0، در واقع، یکی از راههای نشان دادن تفاوت بین نظریه ی مجموعه crisp و نظریه ی مجموعه فازی این است که توضیح دهیم این دو قانون در نظریه مجموعه فازی برقرار نیستند. نتیجتاً، هر ریاضیات دیگری که بر نظریه مجموعه crisp تکیه دارد مانند احتمال (بر پایه ی تکرار) باید از نظریه فازی متفاوت باشد.

ما اکنون مفهوم رابطه ها در مجموعه های فازی و crisp را معرفی خواهیم کرد؛ این در حرکت به سمت منطق فازی کمک خواهد کرد. یک رابطه crisp حضور یا عدم حضور وابستگی، اثر متقابل یا به هم پیوسته بودن بین عناصر دو یا چند مجموعه را نمایش می‌دهد. برای دو مجموعه X و Y داده شده، یک رابطه R بین X و Y خود یک مجموعه R(x,y) زیر مجموعه ای از است. برای مثال رابطه ی ترتیبی «کوچکتر از» (<) رابطه ای است که در که بصورت تعریف می شود. نقطه ی (123،1) متعلق به LT(R,R) است در حالیکه به وضوح (1،123) متعلق به آن نیست.(توجه: با Y*X، به ضرب دکارتی مجموعه های X و Y اشاره داریم که مجموعه ای از زوجهای مرتب با مقادیری به ترتیب از X و Y است. یعنی .

تعریف 14(رابطه ی فازی): یک رابطه ی فازی، درجه ای از حضور یا عدم حضور وابستگی، اثر متقابل یا به هم پیوسته بودن بین عناصر دو یا چند مجموعه را نمایش می دهد. مثالهایی از رابطه‌های (دوتایی) فازی عبارتند از:

x خیلی بزرگتر از y است، y خیلی نزدیک به x است، z خیلی سبزتر از y است. X و Y را در جهانی مباحثه قرار دهید . یک رابطه ی فاری R(x,y)، یک مجموعه فازی در فضای حاصلضرب X*Y است ، یعنی یک زیر مجموعه‌ی فازی از Y*X است و با تابع عضویت مشخص می شود. یعنی

تفاوت بین یک رابطه ی فازی و یک رابطه ی crisp این است که برای اولی هر مقدار عضویتی در بازه ی [0,1] مجاز است در حالیکه برای دومی تنها 0و 1 قابل اختیار هستند. علت آن که یک رابطه ی فازی نه تنها بهم پیوستگی بین عناصر دو یا چند مجموعه (مثلاً آن طور که یک رابطه ی crisp انجام می دهد) بلکه درجه یا حد این وابستگی را هم بیان می‌کند، نیز همین است. از آنجائیکه رابطه های فازی مجموعه‌های فازی در فضای حاصلضرب هستند. اعمال نظری مجموعه ها می توانند با استفاده از تعاریف 11 تا 13 برای آنها تعریف شود.